Формула Ньютона-Лейбница, интегрирование по частям в несобственных интегралах

Пусть $F(x)$ - первообразная $f(x)$ на $[a, b)$ и $\exists \lim\limits_{x \to b-0} F(x) =\mathpunct{:} F(b)$. Тогда: $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(x) \Bigg|_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$

Как и в линейности и аддитивности, распишем формулу Ньютона-Лейбница для определённых интегралов и перейдём к пределу $b' \to b-0$. $~~\square$

Если: - $f(x)$ - непрерывна на $[a, b)$, а $F(x)$ - её первообразная - $g(x)$ - непрерывно дифференцируема на $[a, b)$ - $\int\limits_{a}^{b} F(x)g'(x) \, dx$ - сходится - $\exists \lim\limits_{x \to b-0} F(x)g(x)$ То: $$\int_{a}^{b} f(x)g(x) \, dx = F(x)g(x) \Bigg|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} F(x)g'(x) \, dx$$

Аналогично предыдущему доказательству: распишем для определённых интегралов и перейдём к пределу $b' \to b-0$. $~~\square$